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2015年5月18日 (月)

13歳の娘に語るガロアの数学

13歳の娘に語るガロアの数学

前書きにこの本は世界で一番やさしいガロアの群論の解説書とあった。また筆者はこれまで何度か群論に挑戦し、ついに理解した。普通の人に理解できるよう自分の

娘を相手にこの本を書いた。だから俺にもガロアの数学が理解できるはずという気持ちで読み出した。高校の数学の本に5次以上の方程式は解けないのを発見したのはガロアだと書いてあった。できる事ならどうしてそうなのかをずっと知りたいと思っていた。2次、3次方程式の根については復習みたいなものだったが、群、体の概念は全く無かったので新鮮な驚きを覚えた。3歩前進2歩後退でなかなか進まなかった。対称群、正規対称群、コセット、剰余群、正規対称群があれば群の構造が2階建てになること。方程式の構造。群の位数が素数であればぐるぐる置換になること。単拡大定理。ガロア群、ガロア拡大と進み、結論である「もし、これらの群がそれぞれ素数個の順列からなるならば方程式は根号によって解けるだろう。そうでなければだめだろう」になる。5次方程式以上は正規対称群がないためべき根が無い事。しかし、べき根が無いからと言って、5次方程式をデカルト座標系にでプロットした場合、その曲線がX軸と交わらないという事では無いらしい。ガウスn次方程式は複素数の範囲内にn個の解を持つ事を証明している。体がラグランジュの頃から存在した集合である事は驚きだった。集合はカントールが発見したものだと思っていた。本書の最後に数と群に関するイメージトレーニングがあった。群と体を結びつける、位数が素数であればぐるぐる置換になり、体のなかに存在する事が保証されべき 根が求められる。こんなことを思い付くなんてガロアは凄い。

金重明

岩波書店

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